Sinh ngày 22/12/1887 và mất ngày 26/4/1920, Srinivasa Ramanujan là nhà toán học Ấn Độ có nhiều đóng góp to lớn trong lĩnh vực đại số từ hàm phân hoạch, hàm elliptic, liên phân số và chuỗi vô tận.
Chân dung Srinivasa Aiyangar Ramanujan - Tranh: Britannica
Xuất thân và học vấn
Srinivasa Ramanujan chào đời tại nhà bà ông ở Erode - một ngôi làng nhỏ cách Madras, Ấn Độ (Thành phố Chennai ngày nay), 400 km về phía tây nam. Gia đình ông di chuyển đến Kumbakonam gần Madras hơn (cách nơi này chỉ 160 km) khi ông lên 1. Cha ông làm thư ký cho một sạp vải tại đó. Kể từ khi học tiểu học lúc lên 5, ông chuyển trường rất nhiều lần cho đến khi nhập học trường cấp 3 tại Kumbakonam vào tháng 01/1898, nơi ông thể hiện sức học của mình khi giỏi đều các môn.
Bắt đầu từ năm 1900, ông bắt đầu làm quen với các phép tính với chuỗi cấp số cộng và cấp số nhân. Hai năm sau, học được cách giải phương trình bậc ba, Ramanujan bắt đầu mày mò và tự tìm ra cách giải phương trình bậc bốn. Năm sau đó, ông tiếp tục tự tìm cách giải phương trình bậc năm mà không biết được rằng đó là điều không thể nếu chỉ dựa vào các phép chuyển đổi đại số thông thường. Không quá ngạc nhiên khi ông cũng rơi vào ngõ cụt khi đi tìm công thức tính nghiệm phương trình bậc năm.
Cũng vào khoảng thời gian trên, Ramanujan đọc được “Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics” (tạm dịch: “Tổng quan các phát hiện sơ khởi trong toán học lý thuyết và ứng dụng”) của George Shoobridge Carr. Nhờ cuốn sách được viết với văn phong cô đọng, Ramanujan dễ dàng đọc và tự học từ đó.
Cuốn sách nêu hàng ngàn định lý, công thức và những đoạn chứng minh vô cùng ngắn - cũng là yếu tố ảnh hưởng mạnh mẽ đến lối chứng minh toán học của ông về sau. Tuy có đính kèm danh sách các bài viết về toán lý thuyết được công bố trên Journals of Learned Societies ở châu Âu, toàn bộ cuốn sách không cập nhật bất cứ kiến thức toán học nào kể từ 1860 trở về sau - điểm yếu đáng chú ý của công trình này.
Nhờ học lực khá giỏi, Ramanujan được trao học bổng cho khoá học tại Cao đẳng Chính phủ ở Kumbakonam năm 1904. Song, chỉ một năm sau, ông để mất suất học bổng này vì quá chú tâm vào toán học mà quên đi các môn khác. Ông rơi vào cảnh túng thiếu không lâu sau đó và phải giấu bố mẹ mà chuyển đến ở tạm tại Thị trấn Vizagapatnam cách Madras 650 km về phía bắc.
Năm 1906, ông bắt đầu theo học Cao đẳng Pachaiyappa tại Madras với mục tiêu vượt qua kỳ thi First Arts để có cơ hội được nhận vào Đại học Madras được nhiều người hướng tới. Không may là ông đổ bệnh chỉ 3 tháng sau khi nhập học cao đẳng. Ông đành liều lĩnh bỏ qua các khoá học mà thi luôn First Arts. Kết quả có thể dễ đoán được: tuy làm rất tốt môn toán, Ramanujan trượt ở tất cả các môn còn lại, vì vậy mà không đạt yêu cầu. Cánh cửa đến Đại học Madras khép lại với ông.
Thiên tài lộ diện
Ramanujan quay lại nghiên cứu và bắt đầu tìm hiểu về liên phân số và chuỗi phân kỳ vào năm 1908, nhưng ông không được cập nhật về bất cứ phát hiện toán học nào mới mẻ ngoại trừ những gì được ghi trong sách của Carr. Một năm sau, ông tiếp tục bị bệnh tật dày vò và phải mất nhiều thời gian mới bình phục hẳn.
Vào năm 1910, Ramanujan bắt đầu nêu các ý tưởng toán học mới, tự đặt ra các bài toán, và tự giải những câu hỏi hóc búa đăng trên tạp chí Hội Toán học Ấn Độ lúc bấy giờ, nhờ đó mà phát hiện ra liên kết giữa các đẳng thức mô-đun elliptic. Năm sau đó, ông bắt đầu được chú ý nhờ bài viết về Số Bernoulli được đăng trên tạp chí Hội Toán học. Vậy là mặc dù không được theo học chương trình đại học chính thống, Ramanujan vẫn gây được tiếng vang tại Madras.
Mong muốn thoát khỏi cảnh nghèo túng, Ramanujan xin một chân vào Văn phòng Tổng Kế toán thuộc Hội Toán học Ấn Độ. Tại đây, có người khuyên ông nên bắt chuyện với Ramachandra Rao, một trong những nhà sáng lập Hội Toán học cũng như thư viện của Hội. Rao trấn an Ramanujan cứ ở Madras để ông sắp xếp vụ học bổng song lại chẳng thể xin được gì. Mặc dù vậy, ông vẫn hỗ trợ Ramanujan tiếp tục nghiên cứu toán học.
Đến năm 1912, Ramanujan mới xin vào vị trí kế toán tại Công ty Cảng Madras. Đính kèm đơn xin việc của ông là thư giới thiệu từ Giáo sư toán học E. W. Middlemast tại The Presidency College ở Madras, âu cũng nhờ danh tiếng “tài năng không qua trường lớp” của Ramanujan. Từng tốt nghiệp St. John’s College ở Cambridge, Middlemast viết trong thư giới thiệu: “Tôi tự tin giới thiệu ứng viên này. Anh ta là chàng trai trẻ với năng lực toán học phi thường, đặc biệt rất nhạy với các con số. Anh có năng khiếu tính toán thiên bẩm và tìm ra kết quả rất nhanh.” Cũng nhờ vậy mà Ramanujan được nhận ngay vào làm và bắt đầu công việc ngày 01/3/1912.
Hành trình khám phá toán học của Ramanujan từ thời điểm này gặp thuận lợi nhờ nhiều hiền tài giúp đỡ. Chẳng nói đâu xa, Kế toán trưởng S. N. Aiyar tại nơi ông làm việc là nhà toán học có tiếng, từng giúp ông công bố bài báo “On the Distribution of Primes” (tạm dịch: “Về sự phân bố số nguyên tố”) năm 1913. Giáo sư kỹ thuật dân dụng C. L. T. Griffith tại Cao đẳng Kỹ thuật Madras cũng ấn tượng với năng khiếu của Ramanujan. Vốn quen với Giáo sư toán M. J. M. Hill tại University College London, Griffith gửi cho Hill các bài báo của Ramanujan, trong đó có công trình về Số Bernoulli.
Mặc dù tán dương viên ngọc chưa mài Ramanujan, Hill không hiểu lắm các công trình của ông về chuỗi số phân kỳ. Ông còn khuyên Ramanujan nên đọc “Theory of Infinite Series” (tạm dịch: “Lý thuyết chuỗi vô tận”) của Thomas Bromwich. Không mấy hài lòng với lời khuyên trên, Ramanujan bèn gửi các công trình của mình cho E. W. Hobson và H. F. Baker, nhưng không ai hồi âm.
Tháng 01/1913, sau khi đọc xong cuốn “Orders of Infinity” (tạm dịch: “Các cấp độ vô cùng”) của Godfrey H. Hardy, Ramanujan viết thư ngỏ cho ông. Nhận được danh sách dài các giả thuyết Ramanujan đề xuất đính kèm trong thư, Hardy cùng nhà toán học John Edensor Littlewood bắt đầu nghiên cứu chúng.
Ngày 08/02, ông viết thư hồi đáp: “Tôi rất hứng thú với những giả thuyết anh đề xuất. Song, anh cần hiểu rằng trước khi có thể đánh giá công tâm những đóng góp của anh, tôi cần xem phần chứng minh cho một số mệnh đề anh đã đưa ra. Những gì anh viết có thể được phân vào 3 loại: (1) những điều mà giới toán học đã biết, hay có thể dễ dàng suy luận được từ các định lý đã chứng minh; (2) những đề tài tuy đúng là mới lạ, nhưng điểm gây tò mò lại nằm ở chỗ khó biện giải hơn là tầm quan trọng của chúng; (3) những kết quả có vẻ mới mẻ và quan trọng…”
Mừng rỡ khi được hồi âm, Ramanujan viết lại cho Hardy: “Thật vui khi có người như ông, xem xét và thấu hiểu được các công trình đầy tâm huyết của tôi… Có thể nói, tôi là kẻ khát tri thức và lá thư của ông như một ngụm nước mát lành, có thể giúp tôi xin được học bổng từ một trường đại học nào đó hay thậm chí là chính phủ.” Và đúng như vậy, nhờ trao đổi thư từ với Hardy mà nhà toán học xuất chúng nhận được học bổng đặc biệt từ Đại học Madras và một khoản trợ cấp học phí từ Trinity College ở tận Cambridge bên Anh.
Srinivasa Aiyangar Ramanujan tại Đại học Cambridge - Ảnh: mathhistory.st-andrews.ac.uk
Sự nghiệp tại Anh
Năm 1914, Hardy đưa Ramanujan sang Anh nhập học Trinity College. Việc này hoá ra không hề dễ dàng. Ramanujan theo đạo Bà-la-môn chính thống nên ăn chay trường. Chưa kể là các giáo lý Bà-la-môn nghiêm cấm tín hữu chu du thiên hạ. Phải cố gắng chống chọi lại đức tin của bản thân, và một phần nhờ sức hút của các công trình của E. H. Neville, đồng nghiệp của Hardy tại Trinity College đã từng gặp Ramanujan trong một lần thỉnh giảng tại Ấn Độ, Ramanujan mới an tâm lên tàu sang Anh.
Con tàu chở Ramanujan rời Ấn Độ hôm 17/3/1914 và cập bến London gần một tháng sau, vào ngày 14/4. Đến nơi, ông trú tại nhà Neville vài tuần trước khi bước chân vào Cambridge và sẵn sàng nghiên cứu cùng Hardy.
Ngay từ những ngày đầu làm việc cùng nhau, Hardy đã gặp khó, không biết làm sao để đào tạo một thiên tài không qua trường lớp. Là một người tự mày mò tìm hiểu và không hề biết gì đến những phát hiện mới nhất, Ramanujan vẫn rất thông thạo một số lĩnh vực như liên phân số. Song, ông hoàn toàn mù tịt về hàm tuần hoàn kép, lý thuyết cổ điển về phương trình bậc hai, hay định lý Cauchy. Sau này Hardy còn phát hiện nhiều giả thuyết về số nguyên tố do Ramanujan đề xuất hoàn toàn sai. Rắc rối nhất là ông vô cùng mơ hồ về phương pháp chứng minh bài bản.
Hardy bèn nhờ Littlewood chỉ bảo cho Ramanujan các bước tiếp cận và xử lý một bài toán sao cho chỉn chu. Tuy nhiên, Hardy ghi nhận: “Thật khó khăn vô cùng khi có những vấn đề Ramanujan cần phải nắm rõ, nhưng mỗi khi nhắc đến, anh ta lại tuôn ra hàng loạt ý tưởng mới, cuốn Littlewood theo. Thế là cả thầy lẫn trò đều không đạt được mục đích truyền dạy gì hết.”
Thế chiến I nổ ra, buộc Littlewood phải tòng quân, để lại Hardy cộng tác một mình với Ramanujan tại Cambridge. Lần đầu đón mùa đông buốt giá tại Anh, Ramanujan không quen nên ngã bệnh. Tháng 3/1915, ông có viết rằng bản thân mệt mỏi đến nỗi không thể đăng bài báo nào trong suốt 5 tháng ròng. Những gì ông công bố được chỉ là các bài viết ông thực hiện tại Anh. Những kết quả tự nghiên cứu trước đó của ông tại Ấn Độ phải sau khi Thế chiến kết thúc mới được đưa vào các tạp chí toán học.
Vậy là tuy không đạt đủ tiêu chuẩn đầu vào, Ramanujan vẫn nhập học rồi tốt nghiệp với tấm bằng cử nhân nghiên cứu tại Cambridge vào ngày 16/3/1916 (bằng này tương đương với học vị tiến sĩ từ 1920 trở đi). Luận án tốt nghiệp của ông tập hợp 7 bài báo ông đã cho xuất bản tại Anh xoay quanh hiện tượng “siêu hợp số”, hay các số có nhiều ước.
Một trong những công trình đáng chú ý của Ramanujan trong khoảng thời gian này liên quan đến vấn đề phân hoạch, tức tìm xem có thể biểu diễn một số nguyên dương bằng tổng của nhiều số nguyên dương nhỏ hơn bằng bao nhiêu cách khác nhau (chẳng hạn 4 có thể biểu diễn là 3+1, 2+2, 2+1+1, hay 1+1+1+1). Những bài báo có sự đóng góp của Ramanujan không chỉ được công bố tại Anh mà còn xuất hiện trên nhiều tạp chí khác khắp châu Âu.
Ngày 18/02/1918, Ramanujan được chính thức gia nhập Hội Triết học Cambridge. Ba ngày sau đó, tên ông xuất hiện trên danh sách các ứng viên được cất nhắc gia nhập Hội Hoàng gia London. Đó là niềm vinh dự lớn nhất mà ông nhận được trong sự nghiệp. Điều đáng chú ý là trong số những người đề cử ông ngoài Hardy và Littlewood còn có những tên tuổi nổi bật đương thời như Thomas Bromwich, Percy MacMahon, William Young, Henry Baker, Joseph Larmor, Andrew Forsyth, Edmund Whittaker,… Ông trở thành hội viên chính thức Hội Hoàng gia vào ngày 02/5/1918. Khoảng 5 tháng sau, vào ngày 10/10, ông lại được cất nhắc làm Nghiên cứu sinh Trinity College tại Cambridge.
Những danh hiệu xứng đáng trên, tiếc thay lại đến vào những năm cuối đời của Ramanujan - điều mà ông cũng không ngờ đến. Năm 1917, ông mắc bệnh lao. Bệnh tình nặng đến độ bác sĩ tiên lượng ông khó sống thêm được lâu nữa. Mặc dù thế, có vẻ những danh hiệu hiển hách ông nhận được đã làm ông phấn chấn hơn, đẩy lùi phần nào bệnh tình.
Rời Anh hôm 27/02, Ramanujan trở lại quê nhà ngày 13/3. Không may, bệnh tình tái phát và ông ra đi một năm sau đó tại Kumbakonam. Lúc mất, Ramanujan hầu như chỉ được giới toán học biết đến. Nhưng sau này, danh tiếng của ông bắt đầu truyền xa. Dần dà, ông được xem như thiên tài toán học sánh ngang với những bậc tiền bối Leonard Euler (1707-1783) hay Carl Jacobi (1804-1851) vô cùng xuất sắc trước đó.
Các thành tựu nổi bật
Những phát hiện đáng chú ý của ông về chuỗi Riemann, tích phân elliptic, và phương trình của hàm zeta Riemann đều nhờ công của ông tự mày mò tìm hiểu. Cũng trên hành trình tự nghiên cứu của mình, ông phát hiện được nhiều điều lý thú về chuỗi siêu bội vốn đã được các nhà toán học trước đó (như Carl Friedrich Gauss) hay cùng thời (như Eduard Kummer) chứng minh. Các công trình của ông về tổng và tích chuỗi siêu bội mới thật sự là tiền đề cho nhiều phát kiến quan trọng trong lĩnh vực này. Các công trình của ông về liên phân số cũng vượt xa những gì do người cùng thời đóng góp. Đáng kể nhất phải nói đến “tổng Ramanujan”, tức phương thức gán giá trị có ý nghĩa toán học cho một chuỗi vô tận phân kỳ - vốn theo định nghĩa là chuỗi số không thể có tổng xác định.
Nhưng có lẽ nếu tính về sức ảnh hưởng phải kể đến những công trình của ông về phân hoạch số nguyên dương tại Anh. Dựa trên bảng phân hoạch các số nguyên dương nhỏ đã được MacMahon lập thủ công trước đó, ông tìm ra nhiều tính chất lý thú của phương pháp phân tích số học này. Trong bài báo đồng tác giả với Hardy, Ramanujan đưa ra công thức tính số phân hoạch p(n) gần đúng. Về sau, nhà toán học Hans Rademacher mới chứng minh công thức này đúng là có thể áp dụng cho mọi số nguyên dương. Dùng hàm elliptic, ông tự đặt ra nhiều giả thuyết về hàm phân hoạch, một số ông chứng minh được ngay, số khác chỉ được chứng minh sau khi ông qua đời.
Ramanujan để lại nhiều sổ tay với vô vàn ghi chú bổ ích và hàng loạt giả thuyết thú vị. Neville Watson, giáo sư toán lý thuyết tại Đại học Birmingham, được Hardy tin tưởng giao cho kho tàng tri thức nói trên. Watson công bố 14 bài báo cùng chủ đề “Theorems Stated by Ramanujan” (tạm dịch: “Giả thuyết được Ramanujan đề xuất”) trong khoảng 1918-1951. Sau đó, ông còn viết hàng chục bài báo khác lấy những công trình của Ramanujan làm nền tảng. Đến nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn dốc công nghiên cứu, tìm cách chứng minh những giả thuyết mà Ramanujan đã đặt ra.
Huỳnh Trọng Nhân
(Lược dịch)